PRUEBA DE HIPÓTESIS RELATIVAS A UNA MEDIA
En el presente artículo aplicaremos el procedimiento de cuatro pasos para probar una hipótesis propuesto en el artículo titulado PRUEBA DE HIPÓTESIS, tanto para problemas con muestras grandes, como con muestras pequeñas.
PRUEBA CON MUESTRA GRANDE
Para ilustrar el procedimiento, resolveremos el siguiente problema:
Se afirma que el tiempo que pasan los niños viendo la TV en México es por lo menos de 4 horas al día. Para probar esta afirmación se obtuvo la siguiente muestra de 45 niños seleccionados aleatoriamente de las principales ciudades de este país. Utilizar un nivel de confianza de 0.01
| Horas al día que ven tv los niños | |||||
| 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 4 |
| 4 | 4 | 3 | 5 | 4 | 6 |
| 4 | 4 | 4 | 3 | 5 | 4 |
| 4 | 5 | 3 | 5 | 3 | 4 |
| 5 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 3 | 4 | 4 | 2 | 4 |
| 4 | 4 | 5 | 5 | 4 | 5 |
| 3 | 3 | 4 | |||
PASO 1. ESTABLECER LAS HIPÓTESIS NULA Y ALTERNA
Este par de hipótesis deben de ser excluyentes, y los signos que pueden tomar estas hipótesis son los siguientes:
| Ha: | Ho: |
| < | ≥ |
| > | ≤ |
| ≠ | = |
En este ejemplo se afirma que los niños ven TV por lo menos 4 horas al día (μ ≥ 4), por el signo, esa es la hipótesis Nula, y por lo tanto la hipótesis alterna seria lo contrario (μ < 4).Las hipótesis quedan de la siguiente manera:
Ho: "Los niños ven TV por lo menos 4 horas al día".
Ho: μ ≥ 4
Ha: "Los niños ven TV menos de 4 horas al día".
Ha: μ < 4
PASO 2. DETERMINAR EL CRITERIO DE CONTRASTE
Determinar el criterio de contraste consiste en especificar el nivel de significancia, el tipo de distribución, y los valores críticos.
a) Nivel de significancia.
Es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera, es decir la probabilidad de cometer error tipo I. El nivel de significancia es simbolizado por α.
En este ejemplo el nivel de confianza es:
b) El tipo de distribución. Se determina dependiendo de la naturaleza de la hipótesis y del tamaño de la muestra. Cuando la hipótesis es relativa a medias poblacionales y las muestras son grandes (n > 30) se utiliza la distribución normal. Cuando la hipótesis es relativa a la media y la muestra es chica ( n ≤ 30) se utiliza la distribución t de student. Como tenemos una muestra de tamaño n=45 utilizaremos la distribución Normal.
c) Los valores críticos.
Son los valores de la variable de la distribución que limitan el área crítica, que es la parte de la curva que corresponde al nivel de significancia.
El área crítica cuando la hipótesis alterna tiene el símbolo (≠) se divide entre dos y se dice que el problema es de dos colas, y cada cola vale α/2. Si la Ha tiene el signo (<) el problema es de la cola izquierda, si tiene el signo(>) es de la cola derecha, y en ambos casos la cola vale α. Tal como se muestra en la ilustración siguiente:
Por lo pronto, en este problema el signo de la hipótesis alterna es (<), por lo que se utilizará la cola izquierda cuya área vale;
El valor crítico se obtuvo de la tabla de la Distribución Normal, localizando el valor más cercano al valor de α = 0.01. Una vez hecho esto identificamos renglón y columna, en este caso el valor más cercano es el 0.00990 que se encuentra en el renglón 2.3 y en la columna 3. Juntamos estas dos cantidades y obtenemos el 2.33, pero como el área crítica se encuentra a la izquierda del cero, el valor crítico es negativo:
Paso 3. Calcular el estadístico de prueba
Lo primero que tenemos que calcular es la media y la desviación estándar:
En seguida, calculamos el error estándar de la media:
Por último, calculamos el "Estadístico de Prueba" con la siguiente fórmula, donde μ es la media hipotética de la población:
Paso 4. Conclusión
Localizamos z*=0.198 en la curva y queda fuera de la cola; por lo tanto se acepta la hipótesis nula. La conclusión la redactamos en estos términos u otros parecidos.
PRUEBA CON MUESTRA PEQUEÑA
Básicamente el procedimiento es el mismo con muestra pequeña (n ≤ 30) que con muestra grande (n > 30), el cambio radica en el tipo de distribución, mientras que con las muestras grandes se utiliza "Z", con la muestras pequeñas se usa "t", analicemos el siguiente ejemplo:
Se afirma que la colegiatura que pagan los estudiantes de universidades particulares de la ciudad de Chihuahua es en promedio de 2500 pesos al mes. Para probarlo se obtuvo la siguiente muestra de 20 estudiantes de escuelas particulares de la ciudad de Chihuahua. Utilice un nivel de significancia de .05.
| 2800 | 3100 | 2300 | 2500 | 3200 |
| 2300 | 3100 | 2700 | 2600 | 2900 |
| 3800 | 3000 | 3100 | 2600 | 2000 |
| 3000 | 3200 | 2200 | 2000 | 2400 |
PASO 1. ESTABLECER LAS HIPÓTESIS NULA Y ALTERNA
Ho: "La colegiatura promedio de los estudiantes no es diferente de 2500 pesos".
Ho: μ= 2500
Ha: "La colegiatura promedio de los estudiantes es diferente de 2500 pesos".
Ha: μ≠ 2500
PASO 2. DETERMINAR EL CRITERIO DE CONTRASTE
a) Nivel de significancia.
b) Tipo de distribución.
Cuando la hipótesis es relativa a la media y la muestra es chica ( n ≤ 30) se utiliza la distribución t de student. Como tenemos una muestra de tamaño n=20 utilizaremos la distribución t de student.
c) Los valores críticos
Cuando la hipótesis alterna tiene el símbolo (≠), el nivel de significancia se divide entre dos y se dice que el problema es de dos colas, y cada cola vale α/2.
Los valores críticos se obtuvieron de la tabla de la distribución t de student, el valor donde se cruzan, la columna que es el valor de la cola de la curva, en este caso α/2 y el renglón, dado por los grados de libertad, Φ=n-1.
Paso 3. Calcular el estadístico de prueba
El estadístico de prueba es un valor que se obtendrá de la información de la muestra, y se comparará con el valor obtenido en el criterio de contraste, y así, rechazar o aceptar la hipótesis alterna. La notación del estadístico de prueba cambia de acuerdo a la distribución que se utilice, si utilizamos la curva normal la notación será Z*, y si utilizamos la tabla t, como en este caso, se simboliza t*.
Lo primero que tenemos que calcular es la media y la desviación estándar:
En seguida, calculamos el error estándar de la media:
Por último, calculamos el "Estadístico de Prueba" con la siguiente fórmula:
Paso 4. conclusión
Una regla de decisión es establecer las condiciones sobre las cuales se acepta o rechaza una hipótesis. Si al localizar estadístico de prueba t* queda dentro de la zona crítica la hipótesis alterna deberá ser aceptada. Si queda fuera de la zona crítica (cola), la hipótesis alterna deberá ser rechazada.
Como podemos ver, al localizar la t*=2.31 en la curva supera el valor de t=2.09 y queda dentro de la cola; por lo tanto se acepta la hipótesis alterna. La conclusión la redactamos en estos términos u otros parecidos.
VER: Prueba de hipótesis relativas a la media de dos poblaciones
EJERCICIOS
1.- Una compañía fabricante de llantas necesita comprobar que la vida útil de los neumáticos que fabrica no es menor de 50,000km. Para verificar la afirmación se prueba una muestra de 36. Se obtuvieron los siguientes resultados en miles de kilómetros:
| Vida útil de los neumáticos | |||||
| 58 | 52 | 54 | 52 | 48 | 58 |
| 53 | 59 | 45 | 60 | 56 | 45 |
| 48 | 48 | 55 | 46 | 52 | 53 |
| 61 | 52 | 45 | 55 | 51 | 52 |
| 37 | 51 | 49 | 45 | 48 | 60 |
| 62 | 54 | 61 | 65 | 55 | 61 |
a) Pruebe que la vida útil promedio de los neumáticos no es menor de 50,000 km. en un nivel de significancia de .01.
b) Pruebe que la vida útil de los neumáticos es en promedio igual a 60,000 km. en un nivel de significancia de .05.
2.- El control de calidad de una compañía que produce harina, verifica que la presentación del producto en paquete de 1 kg contenga dicha cantidad. Se obtuvo una muestra de 50 paquetes los cuales dieron tuvieron los siguientes pesos en gramos:
| Vida útil de los neumáticos | |||||
| 994 | 1043 | 1011 | 1053 | 1015 | |
| 1045 | 1003 | 946 | 985 | 997 | |
| 1017 | 987 | 986 | 966 | 1006 | |
| 979 | 974 | 971 | 1023 | 936 | |
| 994 | 1014 | 1000 | 934 | 970 | |
| 997 | 989 | 998 | 922 | 987 | |
| 951 | 960 | 1027 | 971 | 999 | |
| 958 | 999 | 1006 | 952 | 1014 | |
| 997 | 1019 | 1034 | 977 | 965 | |
| 1000 | 995 | 1000 | 972 | 1015 | |
b) Se obtuvo otra muestra, esta de 25 paquetes, con una media de .971 Kg. y una desviación de .35 Kg. Con un nivel de significancia de .02, ¿Podemos afirmar la hipótesis de que los paquetes contienen menos de 1 kg.?
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