Prueba de hipótesis relativas a las medias de dos poblaciones
Existen muchas situaciones en los que debemos decidir si la diferencia observada entre la media de dos muestra se puede o no atribuir al azar. Por ejemplo, a lo mejor queremos comprobar que el consumo de gasolina entre dos tipos de autos es mayor en uno que en otro, si los hombres pueden realizar cierto trabajo con la misma rapidez que las mujeres, si la dieta de cierta región es más nutritiva que en otra, etc.
El método propuesto en este artículo está compuesto de cuatro pasos: (1) Establecer las Hipótesis; (2) Determinar el criterio de contrase; (3) Calcular el estadístico de prueba y (4) Tomar decisión y concluir. Este procedimiento lo desarrollaremos resolviendo el siguiente problema.
Prueba con muestras grandes
En una investigación se quiere saber si existe alguna diferencia entre la estatura promedio de las mujeres de dos países. Se obtuvieron las muestras siguientes expresadas en centímetros:
| "República de Los Cocos" | ||||||
| 158 | 154 | 157 | 161 | 160 | 166 | 160 |
| 152 | 158 | 164 | 156 | 157 | 173 | 163 |
| 156 | 159 | 168 | 140 | 164 | 161 | 150 |
| 151 | 157 | 165 | 150 | 157 | 164 | 166 |
| 149 | 172 | 168 | 160 | 156 | 154 | 159 |
| "Reino de Zambombia" | ||||
| 142 | 157 | 160 | 154 | 152 |
| 158 | 161 | 155 | 143 | 153 |
| 156 | 157 | 166 | 165 | 156 |
| 157 | 165 | 144 | 152 | 155 |
| 160 | 162 | 164 | 162 | 159 |
Pruebe en un nivel de significancia de 0.05 que las mujeres de la República de los Cocos tienen igual o diferente estatura que las mujeres del Reino de Zambombia.
Paso 1: Establecer las hipótesis.
Recordemos que las hipótesis nula y alterna son mutuamente excluyentes, es decir si se acepta una se rechaza la otra, y viceversa. Los signos que pueden llevar ellas son los siguientes:
| Ha: | Ho: |
| μ1 ≠ μ2 | μ1 = μ2 |
| μ1 > μ2 | μ1 ≤ μ2 |
| μ1 < μ2 | μ1 ≥ μ2 |
En este problema, lo que se quiere probar es que "las estaturas no son diferentes" (Ho), por lo tanto la hipótesis contraria diría que "las estaturas son diferentes" (Ha).
La redacción de las hipótesis quedaría de la siguiente manera:
Ho: "La estatura de las mujeres de "Los Cocos" no es diferente en promedio que la estatura de las mujeres de "Zambombia".
Ho: μ1 = μ2
Ha: "La estatura de las mujeres de "Los Cocos" es diferente en promedio que la estatura de las mujeres de "Zambombia".
Ha: μ1 ≠ μ2
Paso 2: Determinar el criterio de contrase
Para determinar el Criterio de contraste es necesario, a su vez, determinar los siguientes puntos:
a) Nivel de significancia. En el enunciado del problema se establece que el nivel de significancia es de 0.05:
b) Tipo de distribución. Recordemos la regla:
| Si Φ = n1 + n2 - 2 > 30 | Tabla Normal (Z) |
| Si Φ = n1 + n2 - 2 ≤ 30 | Tabla T (t) |
En nuestro problema:
Entonces utilizaremos la tabla Normal
c) Valores críticos. Antes que nada tenemos que analizar cuántas colas vamos a utilizar, veamos la regla:
En este problema utilizaremos dos colas, por lo tanto el nivel de significancia se divide entre 2:
Vamos a determinar los valores críticos buscando el valor de la cola en la "Tabla Normal", exactamente o en su defecto el valor de la tabla más cercano.
Encontramos el 0.025 en en el punto donde se cruzan el renglón 1.9 y la columna 6, lo que al unir estas cantidades obtenemos que z es igual a 1.96 en la cola positiva, pero gracias a que la curva es simétrica, el valor para la cola negativa es el mismo pero con signo contrario.
Paso 3: Calcular el estadístico de prueba
En este punto vamos a realizar varios cálculos:
a) Calcular la media y la desviación estándar de cada muestra:
b)Calcular el error estándar de la diferencia de las medias:
c)Calcular el estadístico de prueba:
Conclusión
Se localiza Z* en la curva:
Como vemos, el estadístico de prueba queda fuera de la cola, por lo tanto se rechaza Ha.
También podría ser así:
Prueba con muestras pequeñas
Las siguientes son las calificaciones de Matemáticas de dos muestras de estudiantes de dos preparatorias:
| "Colegio Much A. Mony" | |||||
| 84 | 88 | 82 | 77 | 85 | 84 |
| 80 | 76 | 89 | 88 | 82 | 93 |
| "Escuela Mao Meno" | ||||
| 83 | 78 | 75 | 84 | |
| 79 | 77 | 78 | 79 | |
Pruebe en un nivel de significancia de 0.03 que los estudiantes del "Colegio Much A. Mony" tienen en promedio mejores calificaciones que los estudiantes de la "Escuela Mao Meno".
1. Establecer las hipótesis.
Las hipótesis quedaría de la siguiente manera:
Ho: "Las calificaciones del "Colegio Much A. Mony" no son mejores en promedio que las calificaciones de la "Escuela Mao Meno".
Ho: μ1 ≤ μ2
Ha: "Las calificaciones del "Colegio Much A. Mony" son mejores en promedio que las calificaciones de la "Escuela Mao Meno".
Ha: μ1 > μ2
2. Determinar el criterio de contrase
Para determinar el Criterio de contraste es necesario, a su vez, determinar los siguientes puntos:
a) Nivel de significancia: 0.03
b) Tipo de distribución. Como:
Entonces utilizaremos la "tabla t de student"
c) Valores críticos. Antes que nada tenemos que analizar cuántas colas vamos a utilizar, veamos la regla:
Gracias a que el signo de Ha es ">" utilizaremos la cola derecha, y por lo tanto el nivel de significancia se queda igual:
Vamos a determinar el valor crítico en la "tabla t de student" de la siguiente manera:
1) Calculamos los "grados de libertad" (Φ) para obtener el renglón de la tabla, notar que la fórmula cuando se tienen dos muestras es diferente:
2) Con el valor de la cola obtenemos la columna de la tabla:
El punto donde se cruzan el renglón y la columna es el valor crítico:
3. Calcular el estadístico de prueba
Calculamos la media y la desviación estándar de cada muestra:
Calcular el error estándar de la diferencia de las medias con la siguiente fórmula, diferente que la utilizada con muestras grandes:
c)Calcular el estadístico de prueba:
Conclusión
Se localiza t* en la curva:
El estadístico de prueba quedó dentro de la cola, por lo tanto se rechaza Ho.
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