EJERCICIOS CON LA CURVA NORMAL
Problema 1
Un investigador reporta que unos ratones vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que la vida de tales ratones se distribuye normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón viva:
a) Más de 32 meses
b) Menos de 28 meses
c) Entre 37 y 49 meses
d) Entre 45 y 50 meses
e) Entre 40 y 43 meses
f) ¿Cuál es la probabilidad de que de seis ratones 4 vivan más de 30 meses?
SOLUCIÓN
a) P( x > 32 )
Primeramente señalamos en la gráfica el área que representa la probabilidad que queremos encontrar, localizando el valor de x=32, tomando en cuenta que la media es 40, por lo que queda en el lado izquierdo, y señalamos el área a la derecha de ese punto.
Enseguida estandarizamos la curva, es decir, transformamos los valores x a valores z, convirtiendo esta curva normal en una curva normal estándar.
Ahora procedemos a buscar el área que corresponde a este valor z en la tabla de áreas bajo la curva normal.
Como el valor x se encuentra en el lado izquierdo de la curva, el área encontrada en la tabla es la cola izquierda de la curva.
El área que buscamos es la que se encuentra a la derecha (verde), y conocemos la cola de la izquierda (sin pintar). Lo que tenemos que hacer es restar al área total la cola de la izquierda.
P( x > 32 ) = 1 - 0.10383 = 0.89617
b) P( x < 28 )
Localizamos en la gráfica el área que representa la probabilidad que buscamos y procedemos a estandarizar el valor x=28, para de inmediato buscar en la tabla de áreas el valor de la cola, que al igual que en el inciso anterior es la cola izquierda y buscamos área que corresponde a este valor z en la tabla de áreas bajo la curva normal.
Buscamos en la Tabla Normal de áreas en el renglón 1.9 columna 0 y encontramos que el área de la cola es .02872
El área que encontramos en la tabla de áreas es la misma que andamos buscando, por lo que:
P(x<28) = 0.02872
c) P( 37 < x < 49 )
En este problema tenemos dos valores de x, y queremos conocer el área que se encuentra entre esos dos valores. Procedemos a estandarizar los dos valores de x, buscamos las áreas en la Tabla Normal y se localiza todo en la gráfica:
En este caso conocemos las dos colas y queremos conocer la parte central, por lo tanto, solo tenemos que restar al total las dos colas:
P( 37 < x < 49 ) = 1 - 0.07780 - 0.31918 = 0.60302
d) P( 45 < x < 50 )
En este problema también hay dos valores de x, solo que a diferencia del anterior, donde estaban en ambos lados de la curva, aquí se encuentran en el mismo lado. Primero vamos a estandarizar los valores, buscamos las áreas en la tabla normal y se localiza todo en la gráfica:
Como la cola pequeña queda dentro de la cola más grande, para encontrar el área que buscamos (la verde), solo necesitamos restar la cola grande menos la cola chica.
P ( 45 < x < 50 ) = .21476 - .05705 = .15771
e) P( 40 < x < 43 )
Cuando el área que queremos encontrar se está entre un valor cualquiera y la media se resuelve de la siguiente manera. Primero estandarizamos el valor que no es la media y lo buscamos en la Tabla Normal de áreas.
Si le quitamos la cola derecha a la mitad derecha de la curva, obtenemos el área que nos interesa.
P ( 40 < x < 43 ) = 0.5 - 0.31918 = 0.18081
f) ¿Cuál es la probabilidad de que de seis ratones 4 vivan más de 30 meses?
Este problema es una distribución binomial, ya que es una prueba que se repite un determinado número de veces (6 ratones) en la cual se espera cierto número de éxitos (4), una condición específica (vivan más de 30 meses).
Lo que no se conoce es la probabilidad de éxito ( de que un ratón viva más de 30 meses), cosa que vamos a calcular con la curva normal. Resumiendo, primero calculamos la probabilidad de éxito con la normal, y luego resolvemos la binomial.
P( x > 30 )
Estandarizamos el valor x = 30 y se busca el área correspondiente en la tabla Z
Por lo tanto, el área buscada es:
P ( x > 30 ) = 1 - 0.05705 = 0.94295
El paso siguiente es resolver la binomial donde la probabilidad de éxito es la que recién calculamos. Los datos para resolver la binomial son:
Problema 2
Las barras de centeno que cierta panadería distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 centímetros y una desviación estándar de 2 centímetros. Suponga que las longitudes se distribuyen normalmente, ¿qué porcentaje de las barras son
a) Mas largas de 31.7 cm?
b) Entre 29.3 cm. y 33.5 cm de longitud?
c) Entre 32 cm. y 35 cm?
d) Mas cortas de 38 cm?
e) Entre 27.5 cm. y 30 cm?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 barras, tres midan más de 35 cm.?
Problema 3
Un abogado va todos los días de su casa a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio del viaje es 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Si las duraciones de los viajes están distribuidas normalmente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos ½ hora?
b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale de su casa diariamente a las 8:45 a.m., ¿qué porcentaje de las veces llega tarde al trabajo?
c) Si el café se sirve en la oficina de las 9:00 a.m. a las 9:10 a.m., ¿cuál es la probabilidad de que llegue a la hora del café?
d) Encuentre la probabilidad de que dos de los siguientes tres viajes tomen como máximo 1/2 hora.
Problema 4
Las alturas de 200 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174 cm y una desviación estándar de 6.9 cm., ¿cuántos de estos estudiantes se esperaría que tuvieran alturas
a) Menores de 160 cm?
b) Entre 171 cm y 182 cm?
c) Mayores a 165 cm?
d) Entre 174 cm y 180 cm?
e) Entre 180 cm y 195 cm?
f) Menores de 185 cm?
g) ¿Cuál es la probabilidad de que de 3 estudiantes, ninguno mida menos de 160 cm?
Problema 5
Una estación de radio encontró que el tiempo promedio que una persona sintoniza esa estación es de 15 minutos con una desviación estándar de 3.5 minutos. ¿Cual es la probabilidad de que un radioescucha sintonice la estación por:
a) más de 20 minutos?
b) Entre 15 y 18 minutos?
c) entre 10 y 12 minutos?
d) ¿Cuantos minutos como máximo sintonizan la estación el 70% de los radioescuchas?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que de 8 radioescuchas, al menos 7 sintonicen la estación por más de 5 minutos?
No hay comentarios:
Publicar un comentario