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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

¿Que es la Distribución Binomial?

Esta distribución, que fue elaborada por Jacobo Bernoulli (Suiza, 1654-1705), es la principal distribución discreta, ya que es aplicable en numerosas áreas del conocimiento.

La distribución binomial consiste en una serie de experimentos de Bernoulli que se repiten, sus características son:

1. El espacio muestral contiene n ensayos idénticos.

2. Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como éxito o fracaso , las cuales son mutuamente excluyentes.

3. Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en un ensayo se mantienen constantes, durante los n ensayos.

4. El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra observación.

5. La probabilidad de que suceda un número x de éxitos, cuya probabilidad es p, en n ensayos independientes está dado por la fórmula:

   

Ejemplo

Si el experimento consiste en que al lanzar un dado en tres ocaciones, y se quiere saber la probabilidad de que el resultado sea "seis" en dos de los tres casos. Entonces tenemos:

n = 3

p =

1 6

= 0.16

x = 2

b( 3, 2 ) =

3!         2! ( 3 − 2 )!

( 0.16 )2 (1 - 0.16 ) 3 − 2   = ( 3 ) ( 0.16 )2 ( 0.84 ) = 0.0645

Función de probabilidad o de masa

La Función de probabilidad de la distribución binomial es la siguiente:

Ejemplo

Si el experimento consiste en que al lanzar un dado en tres ocaciones, y se quiere saber la probabilidad de que el resultado sea "seis". Entonces la función de probabilidad es:

ƒ( 3, 0, .16 ) =

3!         0! ( 3 − 0 )!

( 0.16 )0 (1 - 0.16 ) 3 − 0   = ( 1 ) ( 1 ) ( 0.84 )3 = 0.5927

ƒ( 3, 1, .16 ) =

3!         1! ( 3 − 1 )!

( 0.16 )1 (1 - 0.16 ) 3 − 1   = ( 3 ) ( 0.16 ) ( 0.84 )2 = 0.3386

ƒ( 3, 2, .16 ) =

3!         2! ( 3 − 2 )!

( 0.16 )2 (1 - 0.16 ) 3 − 2   = ( 3 ) ( 0.16 )2 ( 0.84 ) = 0.0645

ƒ( 3, 3, .16 ) =

3!         3! ( 3 − 3 )!

( 0.16 )3 (1 - 0.16 ) 3 − 3   = ( 1 ) ( 0.16 )3 ( 1 ) = 0.0040

 

Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada de la Distribución Binomial se define de la siguiente manera:

Ejemplo

Si el experimento consiste en que al lanzar un dado en tres ocaciones, el resultado sea seis en a lo más cero veces, una vez, dos veces o tres veces. Entonces tenemos:

F( 0 ) = b( 3, 0, .16 ) = 0.5927

F( 1 ) = b( 3, 0, .16 ) + b( 3, 1, .16 ) = 0.5927 + 0.3386 = 0.9313

F( 2 ) = b( 3, 0, .16 ) + b( 3, 1, .16 ) + b( 3, 2, .16 ) = 0.5927 + 0.3386 + 0.0645 = 0.9958

F( 3 ) = b( 3, 0, .16 ) + b( 3, 1, .16 ) + b( 3, 2, .16 ) + b( 3, 3, .16 )= 0.5927 + 0.3386 + 0.0645 + 0.0040 = 1

 

Media y Varianza de la Distribución Binomial

La media μ , la varianza σ² y la desviación estándar σ de la Distribución Binomial se definen de la siguiente forma :

 

Ejemplo

Si el experimento consiste en que al lanzar un dado en tres ocaciones, y la variable aleatoria es el número de veces que el resultado es seis. Entonces tenemos:

μ = E(x) = np = ( 3 )( 1/6 ) = .5

σ² = V(x) = npq = ( 3 )( 1/6 )( 5/6 ) = 15/36 = 0.41

σ = DE(x) = + √ σ² = + √ 0.41 = 0.64